架HPM与PME沟通之桥(3)

例4如何解一元二次方程

在数学史上，人们首先解决了形如x3+px=q(*)方程，然后，把一般的带有二次项的三次方程，通过变换将二次项消去，化归为(*)型方程，从而可解；类似地，在解一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(**)，把其简化为y4+py2+qy+r=0的形式，这样类型的方程是能解的，从而(**)可解．由此，你能受到启发吗，能给出一元二次方程ax2+bx+c=0的解法吗？

从数学史中寻求问题之解，是值得尝试的一个方向．[8]从上面的史料可知，解三次、四次方程的关键是消去二次项、三次项．这样的活动经验应当可以迁移，一元二次方程求解的关键是消去一次项．引入一个变换令x=y+μ，则一元二次方程可变为a(y+μ)2+b(y+μ)+c=0，整理得，ay2+(2aμ+b)y+aμ2+bμ+c=0，消去一次项，令2aμ+b=0，则有原一元二次方程即可得解．

解一元二次方程有配方法，花拉子米的几何法等，通过取材于数学史料的变式习题训练的编制，为教学提供有益的素材，也开阔了学生的眼界．

例5如何判断同余

在16世纪以前，方程一直是代数学的中心问题．花拉子米称方程是“还原”与“对消”的学问．在解方程的过程中，人们积累了很多的思想和方法，这些方法若能灵活运用之，数学史的智慧即为我所用矣．

设x，y均为整数，若5|(x+9y)，求证：5|(8x+7y)．这是一个标准的数论问题，用方程的思想解之，别开生面．用消元法，消去x，则有(8x+7y)-8(x+9y)=-65y，这样，因为8(x+9y)+(-65y)是5的倍数，故8x+7y是5的倍数．

消元法是解方程的重要手段之一，迁移到数论中也颇具威力．方程的思想渗透到数论中，有很多精彩的例子，这里就不再赘述了．从事高层次思维训练的教练告诉笔者，数论是训练学生计算能力的重要手段．由此观之，此言不虚．

数学史提供了丰富的资源，与变易理论进行结合，进行教学训练系统的编制，促进知识技能化，大有可为．

2.3 在情意系统中沟通

以上主要谈了在认知领域，HPM与PME的沟通情况．对教与学而言，相对认知而言，情意可能扮演了更重要的作用．在情意领域，HPM与PME可以很好沟通．

一切学与教的理论都有一个潜在假设，就是我们面对的学生是理想中的学生．这些学生虽然不一定智力超群，但也一定是没有各种“问题”的学生．然而，在现实的课堂中，学生不一定是天使，也不一定是恶魔，学生就是学生，学生就是在成长中的、有着各种秉性的人．有的朝气蓬勃、活力四射，有的调皮捣蛋、不思进取；如此等等，不一而足．对教师而言，把质优生教好，可能不一定表明您有多么厉害，如果能把“问题”学生教好，那才显现出您有卓越的教书育人的本领．对教与学而言，首先应关注人，只有学生成“人”了，谈认知发展才更有效果．一般心理学研究情绪、情感、意志、需要、动机、兴趣、理想、信念、气质、性格等个性心理特征有着重要的意义，这些虽然与具体的学科教学没有直接关系，然而却是支持个体学习的动力系统．教师应把塑造学生的情意系统放在基础而重要的位置上．

HPM为塑造学生的情意系统提供丰富的素材．我们可以以人格力量丰满的数学家为完美之人的原型来塑造“人”．如，祖冲之为了计算圆周率，至少需要对9 位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事，何况古代计算还是用算筹来进行，这需要怎样的细心和毅力！[9]运算能力是一种重要的核心素养，由计算入门而进入数学的大门是一条可行的路径，因为计算是具体的推理、推理是抽象的计算．当我们的学生害怕运算，不愿运算时，想想古人，必知耻而后勇．又如，有顽强毅力、与黑暗作斗争有“数学英雄”之称的欧拉，居六平方米小屋，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，借用一支笔一些草稿纸而作出“陈氏定理”的陈景润，都是激励我们前行的楷模．故苏轼曾说，“古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志”．人看志气树看材，没有志气，没有良好的个性品质的支持，再好的教学、学法无异于对牛弹琴．数学史本身就是一部人创造数学的历史，人的因素凝结在最终产品——知识之中．不应把知识当作一个可以搬运的对象来看作，而应看作一种文化，一种可以与之进行深度交流的对象，在其中，我们既可以感叹人类智力的深邃，更可淋浴那闪耀千古，跨越时空的精神之光．沉咏其中，我们的人品、人格、精神面貌得到了升华．成为“人”是教育的永恒话题，也是一个需要寻求有效抓手的话题，从HPM 中寻找切入，使成“人”有了一个落脚点．

文章来源：《数学教育学报》 网址: http://www.sxjyxbzz.cn/qikandaodu/2020/1010/345.html