架HPM与PME沟通之桥(2)

至于“图式”则是指个体在经历活动、过程、对象以及多种情境下的训练、反思之后，围绕概念进行局部组织，使之成为认知结构中的一部分，并能当作一种“图式”工具来解决相关问题．形成图式所需要的时间更长了，图式的形成也更难了．这时，就需要教师精心编制习题训练系统，帮助学生实现认知的快速飞跃，这正是教学的效率所在．

经过PME的分析，基于数学史的教学设计的课堂教学能达到哪一步，就看得非常清楚了．故在实际的教学中，教师不仅要上好概念课、命题课，还要上好习题课，设计好训练系统，才能保证学生认知“对象”“图式”的形成，才能破解学生“听得懂课，却不会做题”的现象．

类似地可以分析、比较基于PME、HPM下函数概念的教学设计及其效果．

例3平面概念的教学设计

Procept理论认为，数学知识的认知发展出三种不同的途径，对应着三个不同的数学世界．第一个世界被称为“概念—具体化世界”(conceptual-embodied world)．这个世界源自对物理世界和思维世界的感知．学习者基于个人头脑中已经建立起来的关于以往经验的连接，通过操作、反思来想象并不存在于物理世界中的事物．第二世界被称为“过程—符号化世界”(proceptual-symbolic world)．该世界开始于行为，并在反省抽象的过程中，利用符号将行为压缩成概念，这些符号可以帮助我们在过程和概念之间来回转换，形成图式，这些符号有助于进行计算和推理．在这个世界里，物理操作中蕴含的道理被凝聚压缩成心理操作，实现数学学习由过程到对象的飞跃．第三个世界是“形式公理化世界 (formal-axiomatic world)．在这个世界里，以几个基本结论和通用规则为出发点，以符号对象为基本元素，构建起一个自足的逻辑体系．

基于数学“三个世界”学习理论，分析基于数学史的平面概念的教学设计[5]．

案例1是引导学生观察平面的表象，然后用语词表述之．这要求学生展开充分的想象，在现实生活中为平面这个意象寻找认知的固着点．这正是符合“概念—具体化世界”的要求．初步形成平面的意象之后，还需要深入了解其性质，深化对其认识．性质是在与其他事物相互作用的过程中表现出来的一种属性．这就需要考虑几何的基本元素点、线、面之间的相互作用．案例2通过平面割几何体表面的活动，引导学生进行观察、归纳，通过学生已经熟知的直线的“直”“无限延伸”这种经验来获得平面“平”“无限延展”的属性．这是平面的公理1．进而获得平面公理1的器用：可以用来判定点、线是否落在平面上．得到公理1，先是借助实物操作经历活动具体世界中的活动过程，然后对具体世界中活动过程进行抽象、反思，使之能成为在心理中操作的活动过程，并得到确认，最后，把这活动过程中的认识成果固化下来，用符号化的语言表述出来，就完成了“过程-符号化世界”的整个历程．案例3则从画法上保证了平面的存在性，与“两点确定一条直线”具有某种相似性．意想中的概念如果能作得出来，则更容易被人们接受．如，历史上，高斯在复平面上给出复数的几何表示之后，以前争议很大的复数便迅速被人们接受了．案例3通过“实物操作——心理抽象——心理压缩”，使学生从具体世界走向符号化世界．案例4 的设计流程与案例2、3是一样的．

上述分析表明，基于数学史的平面概念的教学设计符合数学“三个世界”学习理论的要求．HPM与PME在此达成了一致．至于要达到“形式公理化”世界，在一节课中是无论如何也达不到的，只能进行一些有意识地学试．如文[6]给出了局部组织策略，尝试指导学生局部组织位置关系的逻辑链条，让学生体会公理的作用．比如直线与平面的位置关系．直线与平面之间有两种位置关系，选择直线在平面内作为公理1，直线不在平面内就是该公理的否定，就不用再用公理规定了．学生经历局部组织的过程，就能体会公理的作用．

2.2 在训练系统设计中沟通

变易理论及其教学应用，是中国数学教学的重要特征之一．就变式而言，有概念变式和过程变式．概念性变式在变化与比较中凸显本质属性，在复合与分离中，克服背景干扰，这些都有助于学生获得准确的概念．过程性变式在化归与递变中，指向问题解决，在分类与贯通中，关注知识间的联系．[7]知识技能化，有层次推进的变式训练是必不可少的．这已在实践中广为应用．

以数学史料为背景，构建有层次的训练系统，从数学史吸取智慧，也可以在教学中落实变易理论．

文章来源：《数学教育学报》 网址: http://www.sxjyxbzz.cn/qikandaodu/2020/1010/345.html